在上一部分中，我介绍了延迟映射的概念:

x_n+1 vs x_n的图

它描述了轨迹上连续的两点之间的相关性

这个领域的难点就在于当你
刚开始学习的时候

你会遇到很多对动力系统的
不同的理解和解释

我们经常在这些解释之间切换得很快

并且不附带任何解释

我将讲述何时会在不同的解释之间切换

并且为你讲解每个方法的优点

因此现在我就要为你建立

时域图（x_n vs n）和延迟映射(x_n+1 vs x_n)之间的关系

为此我将为你展示很多一一对应的图表

就像我在过去视频的结尾所做的那样

在上个单元你研究逻辑斯谛映射所用的那个软件

使这一切变得非常简单，它给我画的每条线

都上了不同的颜色来表示不同的迭代

并且都画得比我的线直

右边这张图展示了迭代逻辑斯谛映射

我们从这个初始条件和这个R参数出发，我们迭代了这么多次

并且你可以看到这些迭代最终收敛到了一个固定值

你也许还记得，如果我们提高R参数，那么这个固定值将会升高

现在我把R设为2和2.1

同样，你也许还记得，如果我们进一步提高R，比如2.2，那么你将会看到

更大的提升，让我们把R提高得更多

R=2.6那么你将会在右图看到震荡的收敛

现在看看这个蜘蛛网一样的图

这是x_n+1 vs x_n的图像，我上次也画了很多次这样的图

然后你可以看到这个收敛是震荡的，让我们把这片区域变大

这是R=2.8，你开始看到这种我上节课画过的

方形的向内的漩涡

我希望你同样记得当R变得更大，分叉就会出现

然后我们曾经收敛到的固定值就会消失，（实际上它就是变得不稳定了

其实并没有消失），我们会看到两个周期循环

这是在延迟映射图中我们看到的

进一步提高R，这两个循环变得更大了。这是R=3.3然后这是R=3.4

在某个R值，我们会得到4个循环，这有点难看到

渐进的行为，但是你可以用这个“取消迭代”的按钮

就在这里，来移除一些刚开始的迭代

现在我就是在移除最开始的瞬态迭代

当我移除了足够多的刚开始的不稳定的迭代

你就能看到吸引子和非常清楚地4个循环

并且你能够看到在左边这张图里

黄色线条和蓝色线条的几何是如何使得这样的现象发生的

当R=3.65，迭代就会使得方程的值不断跳动

这是混沌吸引子，你可以很清楚的从左图中看到

为什么它经常被叫做“蜘蛛网图”

在R=3.8，轨迹变得完全混沌，但是看看当R=3.83会发生什么

我们看到了三个循环，因此在3.8和3.83之间发生了一次

从混沌轨道到周期轨道的分叉

那么我们怎样才能捕捉到
不同的吸引子之间丰富的行为呢

尤其是仅仅通过一张图

我们可以用另一种有用的表述工具
它叫做“分岔图”

它的坐标轴是x_n vs R。
如何理解这张图的含义呢？

我们可以想象这个图上的每一个切片都是从侧面看我们之前画过的时域图

就像这个一样，我在尝试表述人眼在从

这张图的侧面望向这张图

现在有了分岔图，我们对吸引子的渐进行为非常感兴趣

当你画分岔图的时候，你实际上

消除了最开始的暂态

想象你在从侧面看向这张图（这是你的眼睛）

你将看到什么？你将看到一堆点处于某些高度

记住你不会看到这些，因为我们已经把它扔掉了

因此当你看到R=2的横坐标所对应的这个点时

就是我们在左下角画的所有的点的重合

而另一个切片

对应的是右下角的这个图。这个眼镜会看到啥呢？

同样我们不关注暂态行为，从侧面看，这个图

会变成两个点，像这样

因此我花了这样一个渐进行为

和循环行为在分岔图中所对应的表示

在这二者之间我仔细看会看到什么？

这就是我看到的，记住这个不动点会先上升

在这个点分叉变成周期，同时变得越来越宽

如果你用电脑仔细地计算

而不是用手绘板和笔，你就会看到这个非常美丽的图形

下节课我们会仔细讨论这张图的结构